掲題については
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities
に載っています。
基本対称式
e_0 = 1,
e_1 = x_1 + x_2 + ... + x_n,
e_0 = 1,
e_1 = x_1 + x_2 + ... + x_n,
...
e_n = x_1 * x_2 * ... * x_n,
(k > n のときは、e_k = 0)
に対して、同次対称式
p_1 = x_1 + x_2 + ... + x_n,
に対して、同次対称式
p_1 = x_1 + x_2 + ... + x_n,
p_2 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2,
...
を考える。
このとき
Sum_{k>=0} e_k * x^k = exp(-Sum_{k>0} p_k * (-x)^k / k).
このことから、次の式を得る。
Product_{j=1..n} (x - x_j)
のx^(n-k) の係数は、
exp(-Sum_{k>0} p_k * x^k / k)
のx^k の係数に一致する。
応用として次のことが言える。
1 = x_1 + x_2 + ... + x_n,
2 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2,
...
n = x_1^n + x_2^n + ... + x_n^n
のとき、
Product_{j=1..n} (x - x_j)
のx^(n-k) の係数は、
exp(x/(x-1))
のx^k の係数に一致する。
（OEIS のA293116 にE.g.f.: exp(x/(x-1)) が載っています。）
（OEIS のA293116 にE.g.f.: exp(x/(x-1)) が載っています。）
具体的には、
1 = x_1 + x_2 + x_3,
2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2,
3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3
のとき、
Product_{j=1..n} (x - x_j)
= x^3 - x^2 - x/2 - 1/6.
ちなみに、
25/6 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4.
= x^3 - x^2 - x/2 - 1/6.
ちなみに、
25/6 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4.
