研究の部屋

2018年11月26日月曜日

181126

判別式の項数について

どうやら、
http://www-is.amp.i.kyoto-u.ac.jp/kkimur/gbrela2013-2.pdf
https://www3.risc.jku.at/conferences/gbrela2013/GBRLA_schedule.pdf
を見る限り、
n 次方程式の判別式の項数は、順に
2, 5, 16, 59, 246, 1103, 5247, 26059, 133881, 706799, 3815311, 20979619, 117178725, 663316190, 3798697446, 21976689397

となるらしい。

2017年12月3日日曜日

171203

π(x, 4, 1) とπ(x, 4, 3)

http://www.ams.org/journals/mcom/2004-73-247/S0025-5718-04-01649-7/S0025-5718-04-01649-7.pdf
には、欠けている値があるので、
http://math.univ-lyon1.fr/~deleglis/Calculs/pik.html
から値を列挙してみた。

10^n の値
1 2
11 13
80 87
609 619
4783 4808
39175 39322
332180 332398
2880504 2880950
25423491 25424042
227523275 227529235
2059020280 2059034532
18803924340 18803987677
173032709183 173032827655
1602470783672 1602470967129

14922284735484 14922285687184
139619168787795 139619172246129
1311778575685086 1311778581969146
12369977142579584 12369977145161275
117028833597800689 117028833678543917
1110409801150582707 1110409801410336132

2017年6月27日火曜日

170627

j_n に関係した等式

Ken Ono 氏の
The Web of Modularity: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and q-series

に面白い例が載っていたので確かめてみた。

Sum_{n >= 0} j_n(i)*q^n

= E_4^2 * E_6/Δ * 1/(j - 1728) = E_8/E_6 * E_6^2/(Δ * (j - 1728)) = E_8/E_6,

Sum_{n >= 0} j_n(ω)*q^n

= E_4^2 * E_6/Δ * 1/j = E_6/E_4 * E_4^3/(Δ * j) = E_6/E_4.

2017年1月11日水曜日

170111

Ruby

sinc function の積の積分(3)

Alois P. Heinz さんがこの先を求めてくれた。

# OEIS A280841のデータ
n_ary =
[1,1,1,1727,20652479,2059268143,24860948333867803,
 145905074443586569379,
 4567419249415312673370820607,
 1642142815363470261591271553081,
 4093745592094627817260334517735412136353665283]
# OEIS A280842のデータ
d_ary =
[2,2,2,3456,41472000,4147200000,50185433088000000,
 295090346557440000000,
 9251918060437194670080000000,
 3330690501757390081228800000000,
 8312243866372850396258184884618526720000000000]

n = n_ary.size
# In / Pi
p (1..n).map{|i| n_ary[i - 1].to_r / d_ary[i - 1]}
# In / Pi を小数で表示
p (1..n).map{|i| (n_ary[i - 1].to_r / d_ary[i - 1]).to_f}
# 1 / 2 と In / Pi との誤差
p (1..n).map{|i| 1r / 2 - n_ary[i - 1].to_r / d_ary[i - 1]}
# 1 / 2 と In / Pi との誤差を小数で表示
p (1..n).map{|i| (1r / 2 - n_ary[i - 1].to_r / d_ary[i - 1]).to_f}

出力結果
[(1/2), (1/2), (1/2), (1727/3456), (20652479/41472000), (2059268143/4147200000), (24860948333867803/50185433088000000), (145905074443586569379/295090346557440000000), (4567419249415312673370820607/9251918060437194670080000000), (1642142815363470261591271553081/3330690501757390081228800000000), (4093745592094627817260334517735412136353665283/8312243866372850396258184884618526720000000000)]
[0.5, 0.5, 0.5, 0.49971064814814814, 0.4979860869984568, 0.49654420886381173, 0.4953817632752956, 0.4944420451083303, 0.4936726870665218, 0.49303374615474405, 0.4924958480412081]
[(0/1), (0/1), (0/1), (1/3456), (83521/41472000), (14331857/4147200000), (231768210132197/50185433088000000), (1640098835133430621/295090346557440000000), (58539780803284661669179393/9251918060437194670080000000), (23202435515224779023128446919/3330690501757390081228800000000), (62376341091797380868757924573851223646334717/8312243866372850396258184884618526720000000000)]
[0.0, 0.0, 0.0, 0.00028935185185185184, 0.00201391300154321, 0.0034557911361882718, 0.004618236724704401, 0.005557954891669699, 0.006327312933478185, 0.006966253845255918, 0.007504151958791851]

2016年3月9日水曜日

160309

sinc function の積の積分(2)

書き方を変えてみたが、規則性がわからなかった。

∫(0,∞)sinc(x)dx = 1 / 2 × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)dx = 1 / 2 × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)sinc(x / 3)dx = 1 / 2 × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 4)dx = (1 / 2 - 1 / 3456) × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 5)dx = (1 / 2 - 83521 / 41472000) × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 6)dx = (1 / 2 - 14331857 / 4147200000) × π

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 7)dx = (1 / 2 - 231768210132197 / 50185433088000000) × π

2016年3月8日火曜日

160308

sinc function の積の積分(1)

WolframAlpha で計算。

∫(0,∞)sinc(x)dx = π / 2

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)dx = π / 2

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)sinc(x / 3)dx = π / 2

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 4)dx = 1727 π / 3456

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 5)dx = 20652479 π / 41472000

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 6)dx = 2059268143 π / 4147200000

∫(0,∞)sinc(x)sinc(x / 2)…sinc(x / 7)dx = 24860948333867803 π / 50185433088000000

それぞれ以下で確認できる。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+%2F+(x%5E1),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+2+%2F+(x%5E2),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+sin(x%2F3)+*+2+*+3+%2F+(x%5E3),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+sin(x%2F3)+*+sin(x%2F4)+*+2+*+3+*+4+%2F+(x%5E4),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+sin(x%2F3)+*+sin(x%2F4)+*+sin(x%2F5)+*+2+*+3+*+4+*+5+%2F+(x%5E5),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+sin(x%2F3)+*+sin(x%2F4)+*+sin(x%2F5)+*+sin(x%2F6)+*+2+*+3+*+4+*+5+*+6+%2F+(x%5E6),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5Bsin(x)+*+sin(x%2F2)+*+sin(x%2F3)+*+sin(x%2F4)+*+sin(x%2F5)+*+sin(x%2F6)+*+sin(x%2F7)+*+2+*+3+*+4+*+5+*+6+*+7+%2F+(x%5E7),+%7Bx,+0,+%5Cinfty%7D%5D

2015年8月22日土曜日

150822

連続する自然数の積は平方数ではない

連続する自然数の積は平方数ではないことを

1939年にＰ．Ｅｒｄｏｓが示した。

(http://www.renyi.hu/~p_erdos/1939-03.pdf)

また、より一般化し

連続する自然数の積は累乗数ではないことを

1975年にＰ．Ｅｒｄｏｓが示した。

(https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256050816)